Правильное решение "парадокса конвертов".

      Недавно на сайте membrana.ru я прочитал статью о "парадоксе конвертов". Там рассказывется, что этот парадокс якобы нарушает "природную симметрию случая", и, что благодаря изысканиям австралийских ученых, наконец-то наметились перспективные направления для поиска его решения. После некоторых размышлений, у меня сформировалось собственное решение "парадокса конвертов". Которым я и хочу поделится с Вами в этой статье.

Сам парадокс заключается в следующем:

    Допустим Вам кто-то показывает 2 одинаковых конверта, в которых лежат деньги (или карточки с написанными на них суммами). Суммы в обоих конвертах четные, и могут быть любого номинала. Вам известно еще то, что в одном конверте сумма в 2 раза больше чем в другом. В каком конверте какая сумма Вы естественно не знаете. Вам разрешено открыть 1 из конвертов на выбор, посмотреть на деньги в нем, и решить, взять деньги из этого конверта, или поменять его на другой.

     Вопрос состоит в том, как собрать наибольшую сумму денег в такой игре, при большом количестве попыток. Выгоднее ли менять свой выбор всегда, или выгоднее его не менять? Или изменение выбора вообще не имеет значения?

     Интуитивно кажется, что изменение выбора не имеет никакого значения. Потому, что открыв один из конвертов мы не узнаем ничего такого, что даст нам возможность предполагать где какая сумма. Мы просто увидим какие-то деньги. Эта сумма с одинаковой вероятностью может быть как большей так и меньшей из двух.

     Но, начиная с этого момента, некоторые люди призывают на помощь теорию вероятностей, и говорят:

    А вот если мы открыли один конверт, и видим там сумму "С" например, то во втором конверте тогда что? Там или "2С" или "С/2", причем с равной вероятностью (по 0.5). Следовательно, если мы каждый раз будем менять свой выбор, то при большом количестве попыток наш средний выигрыш (математическое ожидание) составит: 0.5*2С+0.5*С/2 = 1.25*С
То есть больше чем "С", что должно было бы получаться в среднем, если перевыбор не имеет значения.

    В таком ракурсе стратегия менять конверты кажется более выгодной. И кажется, что вот они, неслучайные закономерности случайных процессов, где-то почти совсем рядом:)

Тут я вынужден буду разочаровать окрыленных надеждой:)

    В рассуждениях, приведенных выше, не учитывается один важный момент. То, что там называется "С", не есть постоянная величина. Это "С" меняется в зависимости от конверта который мы выбрали первым. То есть само "С" это иногда два, а иногда половина. В случае половины, если следовать предложенной выше логике, во втором конверте может оказаться "половина половины". Или наоборот сумма в 4 раза больше минимальной, если в открытом конверте "2С". Формируются как минимум 2 ложных исхода ситуации.

    Это происходит из-за того, что события "сколько в первом конверте" и "сколько во втором" рассматриваются как независимые. Что неправильно. Потому, что по условию эти события взаимосвязаны. Если в первом конверте "2С" то во втором может быть только "С", а не что-либо другое. Поэтому нельзя вычислять средний ожидаемый выигрыш, так, как это было сделано выше.

     Если суммы, которые появляются в конвертах могут быть любые, и верояность, что там (10$ и 20$) такая же как (10000$ и 20000$), или любой другой пары, то открытие одного из конвертов действительно не дает нам никакой информации о том как поступить, чтобы получить больше денег.

Итак, правильное решение парадокса конвертов:

    Представим, что мы еще ничего не открывали. Мы знаем, что в одном из конвертов находится сумма "Х" (меньшая), а в другом сумма "2X". Если мы открыли один конверт, и видим деньги, то, по условиям задачи есть два равновероятных варианта: либо это "Х", либо "2Х".

     Допустим мы решили всегда менять свой выбор. Если перед нами сейчас "Х" (вероятность 0.5), то во втором конверте "2Х". То есть, с вероятностью 0.5 мы получим "2Х" денег, если поменяем выбор.

     Так же для второго варианта, если то, что мы видим это "2Х", то во втором конверте "Х". С вероятностью 0.5 мы получим "Х" денег если поменяем выбор.

     Средний выигрыш при такой стратегии составит: 0.5*2*Х + 0.5*Х = 1.5*Х. Столько же, сколько получилось бы, если бы мы не меняли конверты никогда, или меняли бы случайно.

   Так что "парадокс" в данном случае софистический, и "происходит" просто из-за неправильного применения законов теории вероятностей для расчетов.

    Что же до моделирования этой игры с помощью компьютеров, которое вроде бы экспериментально подтвердило наличие "парадокса", то здесь дело скорее всего в распределении номиналов.

     Стратегию, более выигрышную чем случайная, для подобной игры действительно можно построить. Но только в том случае, если появление разных номиналов в конвертах не равновероятно.

     Если, например, чем больше сумма, тем меньше вероятноятность ее появления (то есть, 10000$ и 20000$ встречаются редко, а 10$ и 20$ намного чаще:)). Тогда, мы будем выигрывать больше, если будем менять свое решение с вероятностью, которая зависит от суммы, увиденной нами в первом конверте. Чем эта сумма меньше, тем с большей вероятностью меняем конверт на другой. Такая стратегия будет более выигрышной по сравнению со случайными действиями. Что, по-моему, достаточно очевидно и без компьютерного моделирования.

AL Rino